Рассмотрим основные элементы теории нечетких множеств. Пусть U— полное множество, охватывающее все объекты некоторого класса. Нечеткое подмножество F множества U, которое в дальнейшем будем называть нечетким множеством, определяется через функцию принадлежности mF (u), и Î U. Эта функция отображает элементы Ui, множества U на множество вещественных чисел отрезка [0,1], которые указывают степень принадлежности каждого элемента нечеткому множеству F.
Если полное множество U состоит из конечного числа элементов иi, i = 1, 2, ..., п, то нечеткое множество F можно представить в следующем виде:
где "+" означает не сложение, а, скорее, объединение: символ "/" показывает, что значение mF относится к элементу, следующему за ним (а не означает деление на иi).
В случае, если множество U является непрерывным, F можно записать как интеграл:
Нечеткие множества широко применяются для формализации лингвистических знаний. Рассмотрим для примера множество процентных ставок, предоставляемых банками по вкладам. Каким образом можно выделить подмножество высоких процентных ставок? В условиях динамично изменяющейся среды не всегда возможно точно ответить на этот вопрос, однозначно выделив множество высоких ставок. При использовании аппарата теории нечетких множеств решить такую задачу можно даже при отсутствии полной количественной информации об окружении.
-
Элементы теории нечетких множеств 2
Функция принадлежности для элементов нечеткого множества F1, соответствующих понятию высокие процентные ставки (рис. 4.1), будет иметь следующий вид: Функция принадлежности к нечеткому множеству н...
Нечеткие операции отношения и свойства отношенийОперации над нечеткими множествами. Над нечеткими множествами, как и над обычными, можно выполнять математические операции. Рассмотрим важнейшие из них: дополнение множества, объединение и пересеч...
Нечеткие отношенияНечетким отношением R между полным множеством U и другим полным множеством V называется подмножество прямого декартова произведения U V, определяемое следующим образом: где U = {u1, u2,..., иl}, V...
Свойства нечетких отношений1. Объединение отношений (R S)(u, v) = R(u, v) S(u, v), и U, v V. 2. Пересечение отношений (R S)(u, v) = R(u, v) S(u, v), и U, v V. 3. Операция включения (R S) « R(u, v) S (u, v), u U, v V. 4. Сво...
Многокритериальный выбор альтернатив на основе пересечения нечетких множествЭлементы теории нечетких множеств успешно применяются для . принятия решений. Экспертные оценки альтернативных вариантов по критериям могут быть представлены как нечеткие множества или числа, выра...
Многокритериальный выбор альтернатив на основе пересечения нечетких множеств 2Лучшей считается альтернатива a*, имеющая наибольшее значение функции принадлежности Если критерии Сi имеют различную важность, то их вклад в общее решение можно представить как взвешенное пересеч...
Многокритериальный выбор альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтенияРассмотрим метод принятия решений, предполагающий построение множества недоминируемых альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения. Постановка задачи в краткой форме представляется следу...
Многокритериальный выбор альтернатив 2Определение 3. Пусть А — множество альтернатив и mR — заданное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив множества (А, mR) описывается функцией прина...
Многокритериальный выбор альтернатив 3Строится нечеткое отношение Q2: и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (A,mQ2): Данная функция упорядочивает альтернативы по степени их недоминируемости. Числа...
Многокритериальный выбор альтернатив 4Отыскивается пересечение множеств mQ1НД и mQ2НД: Рациональным считается выбор альтернатив из множества Наиболее рациональной альтернативой из множества АНД является та, которая имеет максимальную...
Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правила нечеткого выводаРассмотрим метод многокритериального выбора альтернатив на основе композиционного правила агрегирования описаний альтернатив с информацией о предпочтениях лица, принимающего решение, которые задан...
Многокритериальный выбор 2Тогда высказывание (4.1) можно записать в виде: Для придания общности суждениям обозначим базовые множества U и V через W. Тогда Аi — нечеткое подмножество W, в то время как Вi — нечеткое подмноже...
Многокритериальный выбор 3Удовлетворительность альтернативы, которая описывается нечетким подмножеством А из W, определяется на основе композиционного правила вывода: G = А ° D, где G — нечеткое подмножество интервала I. Т...
Многокритериальный выбор 4при 0 a1 b1 а2 b2 ... аn bn 1. Тогда точечное значение для множества С можно записать в виде: где amax — максимальное значение в множестве С. При выборе альтернатив для каждой из них находится удо...
Многокритериальный выбор альтернатив на основе аддитивной сверткиВ рассматриваемом методе экспертные предпочтения представлены с помощью нечетких чисел, имеющих функции принадлежности треугольного вида (рис.4.2). Пусть имеется множество альтернатив А = {а1, а2,...
Многокритериальный выбор альтернатив на основе аддитивной свертки 2Если функции принадлежности mRij(rij) и mai(ai) имеют треугольный вид, то для них, как и для нечеткого числа X, вершина X*, а также левая Х и правая X границы определяются следующими соотношениями...
Ранжирование альтернатив на множестве лингвистических векторных оценокЗадано множество альтернатив A == {а1, а2, ..., аm} и множество соответствующих исходов S = [s1, s2, ..., sm,}. Каждый исход sj характеризуется альтернативой аi и вектором лингвистических оценок н...
Ранжирование альтернатив 2Степень истинности m (sj, sk) нечеткого высказывания sj sk можно определить как вероятность того, что точное значение sj будет меньше точного значения sk. Предполагая, что исходы являются независи...
Ранжирование альтернатив 3Так как между множеством альтернатив и исходив существует взаимно однозначное соответствие, функцию принадлежности нечеткого отношения предпочтения на множестве альтернатив можно представить в вид...
Банковское кредитованиеС развитием рыночных отношений процесс кредитования банками предприятий сопряжен с многочисленными факторами риска, способными повлечь за собой непогашение ссуды в установленный срок. При анализе...
Банковское кредитование 2Таблица 4.1 Данные бухгалтерской отчетности Финансовый показатель Значение показателя для предприятия, тыс. руб. a1 a2 a3...
Банковское кредитование 3Перечисленные коэффициенты являются критериями качества кредитоспособности предприятий и рассчитываются по следующим формулам: Рассчитанные значения критериев качества для рассматриваемых предприя...
Банковское кредитование 4Этап 1. Построение функций принадлежности, соответствующих понятиям предпочтительный коэффициент абсолютной ликвидности, желаемый промежуточный коэффициент покрытия, наилучший коэффициент рентабел...
Банковское кредитование 5Этап 3. Производится свертка имеющейся информации в целях выявления лучшей альтернативы. Множество оптимальных альтернатив В определяется путем пересечения нечетких множеств, содержащих оценки аль...
Банковское кредитование 6Если критерии, по которым осуществляется выбор вариантов, имеют одинаковую важность для ЛПР, то правило выбора лучшего варианта имеет вид: В = F1 F2 F3 F4 F5. Оптимальной считается альтернатива с...
Выбор лучшего банка для размещения денежных средств физическим лицомЦель решаемой задачи — выбор лучшего банка для размещения денежных средств физическим лицом. В отличие от предыдущего примера используемые для выбора критерии имеют различную значимость для ЛПР. Б...
Выбор лучшего банка 2Таблица 4.3 Значения критериев для альтернатив Критерий Альтернатива Банк a1 Банк a2 Банк a3
На рис. 4.4 приведена экранная форма системы принятия решений на нечетких множествах, которая используется для ввода исходной информации о критериях и альтернативах. Критерии имеют различную значи...
Выбор лучшего банка 4Для критериев, использованных при решении задачи выбора лучшего банка, составлена следующая матрица: Выбор банка F1 F2 F3 F4 F5 F6 F1 1 Выбор лучшего банка 5
Метод нечеткого логического вывода 6
Таблица 4.4 Собственный вектор матрицы полярных сравнений критериев и их весовые коэффициенты Множество оптимальных альтернатив В с учетом различной важности критериев качества определяется путем...
Выбор конкурентоспособного товара методом нечеткого отношения предпочтенияПод конкурентоспособностью понимают комплекс потребительских, стоимостных и социальных характеристик товара (изделия), определяющих его успех на данном рынке, т. е. способность данного товара быть...
Выбор конкурентоспособного товара 2На основании функций принадлежности всех альтернатив по восьми критериям определены их конкретные значения, которые представляют собой следующие нечеткие множества: По этим данным составлены матри...
Выбор конкурентоспособного товара 3Задача выбора решается в соответствии с описанной выше процедурой. Строим нечеткое отношение Q1 = R1 R2 … R8:...
Выбор конкурентоспособного товара 4Находим подмножество недоминируемых альтернатив на множестве {А, }: по всем i и j (i j):...
Выбор конкурентоспособного товара 52. Строим отношение Q2. Коэффициенты wk относительной важности критериев имеют следующие значения: w1 = 0,23, w2 = 0,09, w3 = 0,04, w4 = 0 23 w5 = 0,04, w6 = 0,09, w7 = 0,23, w8 = 0,04....
Выбор конкурентоспособного товара 6Определяем нечеткое отношение Q2. Находим подмножество недоминируемых альтернатив множества [А, }: по всем i и j (i j): 3. Результирующее множество недоминируемых альтернатив есть пересечение множ...
Метод нечеткого логического вывода в задаче выбора фирмой кандидата на замещение вакантной должности бухгалтераРуководство фирмы рассматривает кандидатов на замещение вакантной должности бухгалтера. Задача заключается в том, чтобы, используя описанный выше метод, выявить наилучшего претендента. Обсуждение...
Метод нечеткого логического вывода 2Для формулирования правил следует определить возможные значения лингвистических переменных Xi и Y, которые будут использоваться для оценки кандидатов: d1: Если Х1 = ПОДХОДЯЩЯЯ и X2 = ВЫСШЕЕ, и Х3...
Метод нечеткого логического вывода 3В рассматриваемой задаче оценки кандидатов заданы следующими нечеткими множествами: ПОДХОДЯЩАЯ (квалификация) А = {0,8/u1, 0,61u2, 0,5/u3, 0,1/u4, 0,3/u5}; ВЫСШЕЕ (образование) В = {0,5/u1,1/u2, 0...
Метод нечеткого логического вывода 4Теперь правила можно записать в виде: Используя для преобразования правил вида Если Х = М, то Y = Q импликацию Лукасевича mD(u, j) = min(l, 1-mM /(u) + mY (j)), для каждой пары (u, j) U х J получа...
Метод нечеткого логического вывода 5Метод нечеткого логического вывода 6
В результате пересечения отношений D1, ..., D6 получаем общее функциональное решение: Для вычисления удовлетворительности каждой из альтернатив применим правило композиционного вывода в нечеткой с...
Метод нечеткого логического вывода 7Отсюда (i) = (uk, i) Другими словами, Еk есть k-я строка в матрице D. Теперь применим описанную выше процедуру для сравнения нечетких подмножеств в единичном интервале для получения наилучшего реш...
Метод нечеткого логического вывода 8Аналогично находим точечные оценки для других альтернатив: для второй альтернативы F(E2) = 0,656; для третьей — F(E3) = 0,575; для четвертой — F(E4) = 0,483; для пятой — F(E5) = 0,562. В качестве...
Метод нечеткого логического вывода 9Тогда соответствующие левым частям правил нечеткие множества Мi, i = 1, .... 6, i 4, будут иметь вид: F(u1)—0,560; F(u2)— 0,600; F(u3)—0,575; F(u4)— 0,475; F(u5)— 0,530....
Метод нечеткого логического вывода 10Сравнение полученных результатов показывает, что с повышением значимости критерия Х4 ранжировка альтернатив несколько изменилась: и1 и u5 поменялись местами. Этот факт согласуется с исходными данн...
Метод нечеткого логического вывода 11При мягком подходе к принятию решения получены следующие точечные оценки альтернатив: F(u1) - 0,494; F(u2) - 0,533; Р(u3) - 0,530; Р(u4) - 0,437; Р(u5) - 0,539. Полученные результаты можно интерпр...
Метод нечеткого логического вывода 12Рассмотрим решение задачи о выборе бухгалтера с использованием такой системы. Для этого введем следующие лингвистические переменные: ОБРАЗОВАНИЕ (Высшее, Среднее) ОПЫТ (Отсутствует, Приемлемый, Бо...
Метод нечеткого логического вывода 13Значения лингвистических переменных для альтернатив u1, ..., u5 приведены в табл. 4.6. Таблица 4.6 Исходные данные для логического вывода Лингвистическая переменная Альтернатива u1 u2 u3 u4 u5 Метод нечеткого логического вывода 14
На рис. 4.6 и 4.7 показаны экранные формы интеллектуальной программной системы нечеткого логического вывода, используемые для ввода исходной информации....
Метод нечеткого логического вывода 15В табл. 4.7. приведены результирующие лингвистические оценки альтернатив, полученные методом нечеткого вывода, и соответствующие им значения мер сходства....
Метод нечеткого логического вывода 16Таблица 4.7 Результаты работы системы нечеткого вывода Лингвистическая оценка Альтернатива u1 u2 u3 u4 u5...
Выбор фирмой стратегии расширения доли рынка методом аддитивной сверткиРассмотрим пример применения метода аддитивной свертки для решения задачи по выбору некоторой фирмой, производящей бытовую технику, стратегии расширения своей доли на рынке. Первоначально определя...
Выбор фирмой стратегии расширения 2Для оценки альтернатив определим следующие критерии: c1 — затраты на расширение производства; c2 — время реализации проекта; c3 — затраты на маркетинговые исследования; с4 — управленческие расходы...
Выбор фирмой стратегии расширения 3Критерии получили следующие лингвистические оценки относительной важности a = { = ВАЖНЫЙ; = ДОВОЛЬНО ВАЖНЫЙ; = НЕ ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ; = ВАЖНЫЙ; = НЕ ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ; = ДОВОЛЬНО ВАЖНЫЙ; = ВАЖНЫЙ; = НЕ ОЧЕНЬ...
Выбор фирмой стратегии расширения 4Таблица 4.8 Оценка удовлетворительности альтернатив относительно критериев Критерий Оценка альтернативы а1 a2 a3
Выбор предприятия для кредитования методом лингвистических векторных оценок
Решается задача выбора из трех альтернативных предприятий наиболее платежеспособного в целях предоставления кредита. Оценка альтернатив (аi) проводится по следующим критериям: с1 — общая ликвиднос...
Выбор предприятия для кредитования 2Лингвистические векторные оценки альтернатив заданы матрицей: Суть данной методики заключается в вычислении оценки предпочтительности каждой из альтернатив относительно других. При этом, как и в с...
Выбор предприятия для кредитования 3Аналогично находятся суммы по критериям c2 и c3. Функция принадлежности m(a1) вычисляется следующим образом:...
Выбор предприятия для кредитования 4Теперь вычислим нечеткое отношение m(a1): Степень предпочтительности альтернативы а1 равна минимальному из приведенных значений, т. е, m(a1) = 0,673. Для альтернативы а2 получены следующие оценки:...
Сравнительный анализ различных методов принятия решенийТеория нечетких множеств, предложенная Л. Заде в 1961 г., к настоящему времени приобрела широкую популярность и получила практическое применение во многих отраслях знаний. В сфере принятия решений...
Характеристика критериевРентабельность инвестиций (PI) — это показатель, позволяющий определить, в какой мере возрастает ценность фирмы (богатство инвестора) в расчете на один рубль инвестиций. Рентабельность показывает...
Описание альтернатив1. Проект по созданию технологии и оборудования для термического обезвреживания и переработки отходов (a1). В данном проекте предлагается метод переработки отходов, основанный на их последовательн...
Решение задачи методом максиминной сверткиОценки альтернатив по заданным критериям представлены следующими нечеткими множествами: Весовые коэффициенты важности рассматриваемых критериев определены с использованием процедуры парного сравне...
Решение задачи с использованием метода отношений предпочтенияНа основании функций принадлежности (4.3) построены следующие отношения предпочтения на множестве альтернатив: Множество недоминируемых альтернатив = ||1 1 1||. Значение нормированных на единицу в...
Решение задачи с использованием метода отношений предпочтения 2Вычислим нечеткое отношение Q2: Находим подмножество недоминируемых альтернатив множества {А, }: (аi) = || 0,83 0,69 1 ||. Результирующее множество недоминируемых альтернатив — это пересечение мно...
Решение задачи с применением нечеткого логического выводаНа основании приведенных выше исходных данных о критериях и альтернативах экспертом сформулированы правила: d1 : Если с1 = ВЫСОКАЯ, и с2 = ХОРОШАЯ, и с3 = ПРИЕМЛЕМЫЕ, то Y = УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНЫЙ; d2...
Решение задачи с применением нечеткого логического вывода 2ПРИЕМЛЕМЫЕ (первичные средства) G = {0,3/a1, 0,5/a2,1/a3}; НИЗКИЙ (производственный риск) D = {0,5/a1, 0,3/а2, 0,9/a3}; НИЗКИЙ (инвестиционный риск) Е = {0,6/a1, 0,4/а2, 0,2/a3} ОЧЕНЬ НИЗКИЙ (инве...
Решение задачи с применением нечеткого логического вывода 3Правила приобретут следующий вид: Используя для преобразования правил импликацию Лукасевича, получим нечеткие отношения D1, ... D3 на U x J и в результате их пересечения функциональное решение D:...
Решение задачи методом аддитивной сверткиВажность критериев была задана нечеткими числами с функциями принадлежности следующего вида: ВАЖНЫЙ (В)— mB ={0,4; 1/0,7; 0/1}; ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ (OB) — mOB ={0/0,7; 1/1}; НЕ ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ (НОВ) — mHOB...
Решение задачи методом аддитивной свертки 2Взвешенные оценки альтернатив Ri имеют следующие функции принадлежности: Оценки предпочтительности альтернатив равны: m(a1) = 0,90, m(a2) = 0,62, m(a3) = 1,0. Лучшей альтернативой является a3, a х...
Решение задачи методом анализа иерархийНа заданном наборе критериев была построена трехуровневая иерархия, на верхнем уровне которой определена цель выбора (сG). На втором уровне находятся обобщенные критерии: прибыль (сP) к и риск (сR...
Сравнение полученных результатовНа рис. 4.9 приведены результаты решения задачи выбора рационального инвестиционного проекта, полученные различными методами. Несмотря на то, что исходная информация во всех рассмотренных примерах...
Сравнение полученных результатов 2Несовпадение результатов, полученных разными методами, объясняется, с одной стороны, разными способами представления экспертной информации, а с другой стороны — различием подходов к принятию решен...
Контрольные вопросы и заданияПеречислите и дайте определения основным элементам теории нечетких множеств. Дайте определение нечетким операциям, отношениям и свойствам отношений. Охарактеризуйте постановку задачи многокритериа...
ЛитератураЗаде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1976. — 165 с. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения:...