http://megainfotop.com/

Главы     1     2     3     4     5     6     7   

Планирование решений в экономике

Глава 4 Элементы теории нечетких множеств



Рассмотрим основные элементы теории нечетких множеств. Пусть U— полное множество, охватывающее все объекты некоторого класса. Нечеткое подмножество F множества U, которое в дальнейшем будем называть нечетким множеством, определяется через функцию принадлежности mF (u), и Î U. Эта функция отображает элементы Ui, множества U на множество вещественных чисел отрезка [0,1], которые указывают степень принадлежности каждого элемента нечеткому множеству F.

Если полное множество U состоит из конечного числа элементов иi, i = 1, 2, ..., п, то нечеткое множество F можно представить в следующем виде:

 

Элементы теории нечетких множеств

 

где "+" означает не сложение, а, скорее, объединение: символ "/" показывает, что значение mF относится к элементу, следующему за ним (а не означает деление на иi).

 

В случае, если множество U является непрерывным, F можно записать как интеграл:

 

Элементы теории нечетких множеств

 

Нечеткие множества широко применяются для формализации лингвистических знаний. Рассмотрим для примера множество процентных ставок, предоставляемых банками по вкладам. Каким образом можно выделить подмножество высоких процентных ставок? В условиях динамично изменяющейся среды не всегда возможно точно ответить на этот вопрос, однозначно выделив множество высоких ставок. При использовании аппарата теории нечетких множеств решить такую задачу можно даже при отсутствии полной количественной информации об окружении.

    Элементы теории нечетких множеств 2
    Функция принадлежности для элементов нечеткого множества F1, соответствующих понятию высокие процентные ставки (рис. 4.1), будет иметь следующий вид: Функция принадлежности к нечеткому множеству н...
    Нечеткие операции отношения и свойства отношений
    Операции над нечеткими множествами. Над нечеткими множествами, как и над обычными, можно выполнять математические операции. Рассмотрим важнейшие из них: дополнение множества, объединение и пересеч...
    Нечеткие отношения
    Нечетким отношением R между полным множеством U и другим полным множеством V называется подмножество прямого декартова произведения U V, определяемое следующим образом: где U = {u1, u2,..., иl}, V...
    Свойства нечетких отношений
    1. Объединение отношений (R S)(u, v) = R(u, v) S(u, v), и U, v V. 2. Пересечение отношений (R S)(u, v) = R(u, v) S(u, v), и U, v V. 3. Операция включения (R S) « R(u, v) S (u, v), u U, v V. 4. Сво...
    Многокритериальный выбор альтернатив на основе пересечения нечетких множеств
    Элементы теории нечетких множеств успешно применяются для . принятия решений. Экспертные оценки альтернативных вариантов по критериям могут быть представлены как нечеткие множества или числа, выра...
    Многокритериальный выбор альтернатив на основе пересечения нечетких множеств 2
    Лучшей считается альтернатива a*, имеющая наибольшее значение функции принадлежности Если критерии Сi имеют различную важность, то их вклад в общее решение можно представить как взвешенное пересеч...
    Многокритериальный выбор альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения
    Рассмотрим метод принятия решений, предполагающий построение множества недоминируемых альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения. Постановка задачи в краткой форме представляется следу...
    Многокритериальный выбор альтернатив 2
    Определение 3. Пусть А — множество альтернатив и mR — заданное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив множества (А, mR) описывается функцией прина...
    Многокритериальный выбор альтернатив 3
    Строится нечеткое отношение Q2: и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (A,mQ2): Данная функция упорядочивает альтернативы по степени их недоминируемости. Числа...
    Многокритериальный выбор альтернатив 4
    Отыскивается пересечение множеств mQ1НД и mQ2НД: Рациональным считается выбор альтернатив из множества Наиболее рациональной альтернативой из множества АНД является та, которая имеет максимальную...
    Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правила нечеткого вывода
    Рассмотрим метод многокритериального выбора альтернатив на основе композиционного правила агрегирования описаний альтернатив с информацией о предпочтениях лица, принимающего решение, которые задан...
    Многокритериальный выбор 2
    Тогда высказывание (4.1) можно записать в виде: Для придания общности суждениям обозначим базовые множества U и V через W. Тогда Аi — нечеткое подмножество W, в то время как Вi — нечеткое подмноже...
    Многокритериальный выбор 3
    Удовлетворительность альтернативы, которая описывается нечетким подмножеством А из W, определяется на основе композиционного правила вывода: G = А ° D, где G — нечеткое подмножество интервала I. Т...
    Многокритериальный выбор 4
    при 0 a1 b1 а2 b2 ... аn bn 1. Тогда точечное значение для множества С можно записать в виде: где amax — максимальное значение в множестве С. При выборе альтернатив для каждой из них находится удо...
    Многокритериальный выбор альтернатив на основе аддитивной свертки
    В рассматриваемом методе экспертные предпочтения представлены с помощью нечетких чисел, имеющих функции принадлежности треугольного вида (рис.4.2). Пусть имеется множество альтернатив А = {а1, а2,...
    Многокритериальный выбор альтернатив на основе аддитивной свертки 2
    Если функции принадлежности mRij(rij) и mai(ai) имеют треугольный вид, то для них, как и для нечеткого числа X, вершина X*, а также левая Х и правая X границы определяются следующими соотношениями...
    Ранжирование альтернатив на множестве лингвистических векторных оценок
    Задано множество альтернатив A == {а1, а2, ..., аm} и множество соответствующих исходов S = [s1, s2, ..., sm,}. Каждый исход sj характеризуется альтернативой аi и вектором лингвистических оценок н...
    Ранжирование альтернатив 2
    Степень истинности m (sj, sk) нечеткого высказывания sj sk можно определить как вероятность того, что точное значение sj будет меньше точного значения sk. Предполагая, что исходы являются независи...
    Ранжирование альтернатив 3
    Так как между множеством альтернатив и исходив существует взаимно однозначное соответствие, функцию принадлежности нечеткого отношения предпочтения на множестве альтернатив можно представить в вид...
    Банковское кредитование
    С развитием рыночных отношений процесс кредитования банками предприятий сопряжен с многочисленными факторами риска, способными повлечь за собой непогашение ссуды в установленный срок. При анализе...
    Банковское кредитование 2
    Таблица 4.1 Данные бухгалтерской отчетности Финансовый показатель Значение показателя для предприятия, тыс. руб. a1 a2 a3...
    Банковское кредитование 3
    Перечисленные коэффициенты являются критериями качества кредитоспособности предприятий и рассчитываются по следующим формулам: Рассчитанные значения критериев качества для рассматриваемых предприя...
    Банковское кредитование 4
    Этап 1. Построение функций принадлежности, соответствующих понятиям предпочтительный коэффициент абсолютной ликвидности, желаемый промежуточный коэффициент покрытия, наилучший коэффициент рентабел...
    Банковское кредитование 5
    Этап 3. Производится свертка имеющейся информации в целях выявления лучшей альтернативы. Множество оптимальных альтернатив В определяется путем пересечения нечетких множеств, содержащих оценки аль...
    Банковское кредитование 6
    Если критерии, по которым осуществляется выбор вариантов, имеют одинаковую важность для ЛПР, то правило выбора лучшего варианта имеет вид: В = F1 F2 F3 F4 F5. Оптимальной считается альтернатива с...
    Выбор лучшего банка для размещения денежных средств физическим лицом
    Цель решаемой задачи — выбор лучшего банка для размещения денежных средств физическим лицом. В отличие от предыдущего примера используемые для выбора критерии имеют различную значимость для ЛПР. Б...
    Выбор лучшего банка 2
    Таблица 4.3 Значения критериев для альтернатив Критерий Альтернатива Банк a1 Банк a2 Банк a3

    Выбор лучшего банка 3

    На рис. 4.4 приведена экранная форма системы принятия решений на нечетких множествах, которая используется для ввода исходной информации о критериях и альтернативах. Критерии имеют различную значи...
    Выбор лучшего банка 4
    Для критериев, использованных при решении задачи выбора лучшего банка, составлена следующая матрица: Выбор банка F1 F2 F3 F4 F5 F6 F1 1 Выбор лучшего банка 5
    Таблица 4.4 Собственный вектор матрицы полярных сравнений критериев и их весовые коэффициенты Множество оптимальных альтернатив В с учетом различной важности критериев качества определяется путем...
    Выбор конкурентоспособного товара методом нечеткого отношения предпочтения
    Под конкурентоспособностью понимают комплекс потребительских, стоимостных и социальных характеристик товара (изделия), определяющих его успех на данном рынке, т. е. способность данного товара быть...
    Выбор конкурентоспособного товара 2
    На основании функций принадлежности всех альтернатив по восьми критериям определены их конкретные значения, которые представляют собой следующие нечеткие множества: По этим данным составлены матри...
    Выбор конкурентоспособного товара 3
    Задача выбора решается в соответствии с описанной выше процедурой. Строим нечеткое отношение Q1 = R1 R2 … R8:...
    Выбор конкурентоспособного товара 4
    Находим подмножество недоминируемых альтернатив на множестве {А, }: по всем i и j (i j):...
    Выбор конкурентоспособного товара 5
    2. Строим отношение Q2. Коэффициенты wk относительной важности критериев имеют следующие значения: w1 = 0,23, w2 = 0,09, w3 = 0,04, w4 = 0 23 w5 = 0,04, w6 = 0,09, w7 = 0,23, w8 = 0,04....
    Выбор конкурентоспособного товара 6
    Определяем нечеткое отношение Q2. Находим подмножество недоминируемых альтернатив множества [А, }: по всем i и j (i j): 3. Результирующее множество недоминируемых альтернатив есть пересечение множ...
    Метод нечеткого логического вывода в задаче выбора фирмой кандидата на замещение вакантной должности бухгалтера
    Руководство фирмы рассматривает кандидатов на замещение вакантной должности бухгалтера. Задача заключается в том, чтобы, используя описанный выше метод, выявить наилучшего претендента. Обсуждение...
    Метод нечеткого логического вывода 2
    Для формулирования правил следует определить возможные значения лингвистических переменных Xi и Y, которые будут использоваться для оценки кандидатов: d1: Если Х1 = ПОДХОДЯЩЯЯ и X2 = ВЫСШЕЕ, и Х3...
    Метод нечеткого логического вывода 3
    В рассматриваемой задаче оценки кандидатов заданы следующими нечеткими множествами: ПОДХОДЯЩАЯ (квалификация) А = {0,8/u1, 0,61u2, 0,5/u3, 0,1/u4, 0,3/u5}; ВЫСШЕЕ (образование) В = {0,5/u1,1/u2, 0...
    Метод нечеткого логического вывода 4
    Теперь правила можно записать в виде: Используя для преобразования правил вида Если Х = М, то Y = Q импликацию Лукасевича mD(u, j) = min(l, 1-mM /(u) + mY (j)), для каждой пары (u, j) U х J получа...
    Метод нечеткого логического вывода 5
    Метод нечеткого логического вывода 6
    В результате пересечения отношений D1, ..., D6 получаем общее функциональное решение: Для вычисления удовлетворительности каждой из альтернатив применим правило композиционного вывода в нечеткой с...
    Метод нечеткого логического вывода 7
    Отсюда (i) = (uk, i) Другими словами, Еk есть k-я строка в матрице D. Теперь применим описанную выше процедуру для сравнения нечетких подмножеств в единичном интервале для получения наилучшего реш...
    Метод нечеткого логического вывода 8
    Аналогично находим точечные оценки для других альтернатив: для второй альтернативы F(E2) = 0,656; для третьей — F(E3) = 0,575; для четвертой — F(E4) = 0,483; для пятой — F(E5) = 0,562. В качестве...
    Метод нечеткого логического вывода 9
    Тогда соответствующие левым частям правил нечеткие множества Мi, i = 1, .... 6, i 4, будут иметь вид: F(u1)—0,560; F(u2)— 0,600; F(u3)—0,575; F(u4)— 0,475; F(u5)— 0,530....
    Метод нечеткого логического вывода 10
    Сравнение полученных результатов показывает, что с повышением значимости критерия Х4 ранжировка альтернатив несколько изменилась: и1 и u5 поменялись местами. Этот факт согласуется с исходными данн...
    Метод нечеткого логического вывода 11
    При мягком подходе к принятию решения получены следующие точечные оценки альтернатив: F(u1) - 0,494; F(u2) - 0,533; Р(u3) - 0,530; Р(u4) - 0,437; Р(u5) - 0,539. Полученные результаты можно интерпр...
    Метод нечеткого логического вывода 12
    Рассмотрим решение задачи о выборе бухгалтера с использованием такой системы. Для этого введем следующие лингвистические переменные: ОБРАЗОВАНИЕ (Высшее, Среднее) ОПЫТ (Отсутствует, Приемлемый, Бо...
    Метод нечеткого логического вывода 13
    Значения лингвистических переменных для альтернатив u1, ..., u5 приведены в табл. 4.6. Таблица 4.6 Исходные данные для логического вывода Лингвистическая переменная Альтернатива u1 u2 u3 u4 u5 Метод нечеткого логического вывода 14
    На рис. 4.6 и 4.7 показаны экранные формы интеллектуальной программной системы нечеткого логического вывода, используемые для ввода исходной информации....
    Метод нечеткого логического вывода 15
    В табл. 4.7. приведены результирующие лингвистические оценки альтернатив, полученные методом нечеткого вывода, и соответствующие им значения мер сходства....
    Метод нечеткого логического вывода 16
    Таблица 4.7 Результаты работы системы нечеткого вывода Лингвистическая оценка Альтернатива u1 u2 u3 u4 u5...
    Выбор фирмой стратегии расширения доли рынка методом аддитивной свертки
    Рассмотрим пример применения метода аддитивной свертки для решения задачи по выбору некоторой фирмой, производящей бытовую технику, стратегии расширения своей доли на рынке. Первоначально определя...
    Выбор фирмой стратегии расширения 2
    Для оценки альтернатив определим следующие критерии: c1 — затраты на расширение производства; c2 — время реализации проекта; c3 — затраты на маркетинговые исследования; с4 — управленческие расходы...
    Выбор фирмой стратегии расширения 3
    Критерии получили следующие лингвистические оценки относительной важности a = { = ВАЖНЫЙ; = ДОВОЛЬНО ВАЖНЫЙ; = НЕ ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ; = ВАЖНЫЙ; = НЕ ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ; = ДОВОЛЬНО ВАЖНЫЙ; = ВАЖНЫЙ; = НЕ ОЧЕНЬ...
    Выбор фирмой стратегии расширения 4
    Таблица 4.8 Оценка удовлетворительности альтернатив относительно критериев Критерий Оценка альтернативы а1 a2 a3

    Выбор предприятия для кредитования методом лингвистических векторных оценок

    Решается задача выбора из трех альтернативных предприятий наиболее платежеспособного в целях предоставления кредита. Оценка альтернатив (аi) проводится по следующим критериям: с1 — общая ликвиднос...
    Выбор предприятия для кредитования 2
    Лингвистические векторные оценки альтернатив заданы матрицей: Суть данной методики заключается в вычислении оценки предпочтительности каждой из альтернатив относительно других. При этом, как и в с...
    Выбор предприятия для кредитования 3
    Аналогично находятся суммы по критериям c2 и c3. Функция принадлежности m(a1) вычисляется следующим образом:...
    Выбор предприятия для кредитования 4
    Теперь вычислим нечеткое отношение m(a1): Степень предпочтительности альтернативы а1 равна минимальному из приведенных значений, т. е, m(a1) = 0,673. Для альтернативы а2 получены следующие оценки:...
    Сравнительный анализ различных методов принятия решений
    Теория нечетких множеств, предложенная Л. Заде в 1961 г., к настоящему времени приобрела широкую популярность и получила практическое применение во многих отраслях знаний. В сфере принятия решений...
    Характеристика критериев
    Рентабельность инвестиций (PI) — это показатель, позволяющий определить, в какой мере возрастает ценность фирмы (богатство инвестора) в расчете на один рубль инвестиций. Рентабельность показывает...
    Описание альтернатив
    1. Проект по созданию технологии и оборудования для термического обезвреживания и переработки отходов (a1). В данном проекте предлагается метод переработки отходов, основанный на их последовательн...
    Решение задачи методом максиминной свертки
    Оценки альтернатив по заданным критериям представлены следующими нечеткими множествами: Весовые коэффициенты важности рассматриваемых критериев определены с использованием процедуры парного сравне...
    Решение задачи с использованием метода отношений предпочтения
    На основании функций принадлежности (4.3) построены следующие отношения предпочтения на множестве альтернатив: Множество недоминируемых альтернатив = ||1 1 1||. Значение нормированных на единицу в...
    Решение задачи с использованием метода отношений предпочтения 2
    Вычислим нечеткое отношение Q2: Находим подмножество недоминируемых альтернатив множества {А, }: (аi) = || 0,83 0,69 1 ||. Результирующее множество недоминируемых альтернатив — это пересечение мно...
    Решение задачи с применением нечеткого логического вывода
    На основании приведенных выше исходных данных о критериях и альтернативах экспертом сформулированы правила: d1 : Если с1 = ВЫСОКАЯ, и с2 = ХОРОШАЯ, и с3 = ПРИЕМЛЕМЫЕ, то Y = УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНЫЙ; d2...
    Решение задачи с применением нечеткого логического вывода 2
    ПРИЕМЛЕМЫЕ (первичные средства) G = {0,3/a1, 0,5/a2,1/a3}; НИЗКИЙ (производственный риск) D = {0,5/a1, 0,3/а2, 0,9/a3}; НИЗКИЙ (инвестиционный риск) Е = {0,6/a1, 0,4/а2, 0,2/a3} ОЧЕНЬ НИЗКИЙ (инве...
    Решение задачи с применением нечеткого логического вывода 3
    Правила приобретут следующий вид: Используя для преобразования правил импликацию Лукасевича, получим нечеткие отношения D1, ... D3 на U x J и в результате их пересечения функциональное решение D:...
    Решение задачи методом аддитивной свертки
    Важность критериев была задана нечеткими числами с функциями принадлежности следующего вида: ВАЖНЫЙ (В)— mB ={0,4; 1/0,7; 0/1}; ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ (OB) — mOB ={0/0,7; 1/1}; НЕ ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ (НОВ) — mHOB...
    Решение задачи методом аддитивной свертки 2
    Взвешенные оценки альтернатив Ri имеют следующие функции принадлежности: Оценки предпочтительности альтернатив равны: m(a1) = 0,90, m(a2) = 0,62, m(a3) = 1,0. Лучшей альтернативой является a3, a х...
    Решение задачи методом анализа иерархий
    На заданном наборе критериев была построена трехуровневая иерархия, на верхнем уровне которой определена цель выбора (сG). На втором уровне находятся обобщенные критерии: прибыль (сP) к и риск (сR...
    Сравнение полученных результатов
    На рис. 4.9 приведены результаты решения задачи выбора рационального инвестиционного проекта, полученные различными методами. Несмотря на то, что исходная информация во всех рассмотренных примерах...
    Сравнение полученных результатов 2
    Несовпадение результатов, полученных разными методами, объясняется, с одной стороны, разными способами представления экспертной информации, а с другой стороны — различием подходов к принятию решен...
    Контрольные вопросы и задания
    Перечислите и дайте определения основным элементам теории нечетких множеств. Дайте определение нечетким операциям, отношениям и свойствам отношений. Охарактеризуйте постановку задачи многокритериа...
    Литература
    Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1976. — 165 с. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения:...